Pol-Nullstellen-Plan

Applet Screenshot

 

 

 

Das Applet wurde für die Fachhochschule Mittweida als Hilfmittel für Übungsaufgaben in den Fächern "Signale und System" und "Einführung in die Systemtheorie" entwickelt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen Pol- und Nullstellen und der Systemantwort sowie den Phasen- und Amplitudengang dargestellt. Die entsprechenden Null- und Polstellen der Übertragungsfunktion werden dabei von den Benutzer eingeben in den PN-Plan eingeben. Daraus wird dann die Sprungantwort h(t), der Phasengang Φ(w), der Amplitudengang |H(jw)| und die Dämpfung A(w) berechnet.

 

Quellen

  • Thesis Project, Electrical & Information Enineering, University of Sydney, 1997-1008
  • Institut für Elektrische Informationstechnik, TU Clausthal
  • Pol-Nullstellen-Plan, Laboratory for Control Engineering and Machatronics, Technische Universität Darmstadt, 1996
  • Lehrunterlagen "Einführung in die Systemtheorie", Professor Dr.-Ing Volker Delport, Fachhochschule Mittweida, 2006-2007
  • Wikipedia, 2006-2007

Menüleiste

  • PN-Plan
    • Beenden
      Menüeintrag zum Beenden des Applet
   
  • Ansicht
    • Amplitudengang anzeigen
      Zeigt im Diagramm (8) den Amplitudengang an
    • Dämpfung anzeigen
      Zeigt im Diagramm (8) die Dämpfung an
 
  • Hilfe
    • Info über ...
      Menüeintrag öffnent Dialog mit Information zum Applet
 

Schaltflächenleiste

 

Textfelder

  • Maximum x
    Zum Ändern des maximalen x-Werts für den PN-Plan
  • Maximum y
    Zum Ändern des maximalen y-Werts für den PN-Plan
 

Diagramme

Im Hauptfenster befinden sich vier Diagramme:

Pol-Nullstellen Plan

Im Pol-Nullstellen Plan können die Pol und Nullstellen der Übertragungsfunktion eingetragen bzw. entfernt werden. Anhand dieser Angaben wird die Sprungantwort, der Phasengang und der Amplitudengang berechnt. Bei Bedarf kann der Wertebereich über das Menü "Bearbeiten" angepasst werden.

Die Nullstellen werden durch dunkelrote Kreise und die Polstellen durch hellrote Kreuze darstellt.

Sprungantwort

In diesem Diagramm wird, wenn möglich, die Sprungantwort angezeit. Zusätzlich werden hier spezielle Eigenschaften eingeblendet, so z.B.: der Spitzenwert oder ob die Funktion stabil/astabil ist.

Als zusätzliches Hilfe wird, wenn innerhalb des Darstellungsbereiches, eine hellblaue Hilfslinie angezeigt, die einer einfachen Verstärkung entspricht.

Phasengang

Anhand der Pol- und Nullstellen wird hier der Phasenverlauf in einem Bode-Diagramm dargestellt.

Amplitudengang oder Dämpfung

Die Darstellung des Amplitudengang erfolgt analog dem Phasengang.

Alphabetischer Index
B - D - F - K - L - P - S - U - Z


Bode-Diagramm

Das Bode Diagramm ist ein spezieller Funktionsgraph der von Hendrik Wade Bode entwickelt wurde. Es besteht aus einen Graph für den Betrag und einem für das Argument einer komplexen Übertragungsfunktion.

Bode Diagramme werden häufig für die Darstellung von linearen Systemen verwendet.

Ein Bode-Diagramm beschreibt die stationäre Reaktion an einem Ausgang eines Systems auf eine harmonische Anregung an einem Eingang des Systems.

Typischerweise werden die Frequenzen auf der x-Achse logarithmisch dargestellt. Dadurch ist das betrachten eines großen Frequenzbereichs möglich. Auf der y-Achse wird die Verstärkung der Amplitude und die Phasenverschiebung dargestellt. Der Amplitudengang ist ebenfalls logarithmisch und der Phasengang linear.

Bodediagramm Beispiel

Die Darstellung von Erst-/Zweitordungssystem ist dabei sehr einfach möglich.


Dämpfung

Als Dämpfung bezeichnet man die Verringerung der Amplitude, der Intensität, des Ausschlags oder besser der Auslenkung einer Schwingung oder Welle. Durch Energieverlust verebbt die Schwingung eines Systems, wenn ihr keine neue Energie zugeführt wird.

In der Elektrotechnik und Akustik wird die Dämpfung (a) meistens in Dezibel angegeben. Sie berechnet sich üblicherweise aus der Eingangsspannung (U1) und der Ausgangsspannung (U2):

Wenn die Spannung auf den Wert von 50 % absinkt, also die halbe Spannung verloren geht, dann hat das Kabel eine Dämpfung von 6,02 dB. Wenn die Spannung auf den Wert von 70,7 % absinkt, ist die Dämpfung 3,01 dB.

Eine Dämpfung von 3 dB bedeutet, dass die Hälfte der eingespeisten Leistung nicht am Ausgang erscheint, sondern z. B. in Wärme umgewandelt wurde.


Fourier-Transformation

Die Fourier-Tansformation, eine Integraltransformation von Jean Baptiste Joseph Fourier entwickelt, ordnet einer Funktion einer anderen zu (Fouriertransformierte). Sie wird verwendet um für zeitliche Signale das Frequenzspektrum zu berechnen.

Frequenzbereich

Der Frequenzbereich ist die Frequenzdarstellung der Fourier-Transformation. Dabei existiert kein direkter Zeitbezug. Die Systembeschreibungen lassen sich durch die Transformation in den Frequenzbereich als einfache Polynome darstellen und sind somit einfacher zu lösen.

Frequenzgang

Der Frequenzgang beschreibt das verhalten eines LZI. In der Schwingungstechnik wird er auch Übertragungsfunktion genannt.


Laplace-Transformation

Die Laplace-Tansformation, eine Integraltransformation von Pierre-Simon Laplache entwickelt, ordnet einer Kausalfunktion im reellen Zeitbereich eine Funktion im komplexen Spektralberich, den Bildbereich, zu. Sie ist eine Modifizierung der Fourier-Transformation. Die Laplace-Transformation hat den Vorteil, dass die Laplace-Transformierte bei instabilen System meisten noch existiert, wenn das Fouier-Integral nicht mehr divergiert.


Kausal

Ein System ist "kausal", wenn seine Ausgangswerte nur von den aktuellen und vergangenen Eingangswerten abhängen. Die Sprungantwort bzw. Impulsantwort eines solchen Systems verschwindet für negative Zeiten. Alle in der Realität vorkommenden oder in Echtzeit implementierbaren Systeme sind kausal.

Allgemeiner bezeichnet man als "kausales Signal" ein Signal, das für negative Zeiten verschwindet. Ein kausales System kann damit definiert werden als System mit kausaler Impulsantwort.

Phasengang

Im Zusammenhang mit dem Frequenzgang wird meistens der Phasengang Φ(w), auch Phasenfrequenzgang genannt, betrachtet. Mit Hilfe der Phase lässt sich über eine Ableitung nach der Frequenz die Gruppenlaufzeit berechnen.

Pol-Nullstellen-Diagramm

Das PN-Diagramm wird gern als Grundlage für die Analyse, Synthese und Stabilitätsbetrachtung von Schaltungen und Filtern verwendet. Dabei kann man auf den Phasenverlauf des Frequenzgangs und auf die Implus- und Sprungantwort schließen. In das Pol-Nullstellendiagramm werden die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion eingetragen. Die Übertragungsfunktion ist dabei die Laplace-Transformierte der Impulsantwort oder z-Transformation des Systems.

Anhand der Lage der Nullstellen kann man erkennen ob das System kausal oder stabil ist. Das Zeitverhalten wird maßgeblich durch die Pole bestimmt. Technisch realisierbare Systeme besitzen immer mehr Pole als Nullstellen.

Folgenden Eigenschaften können u.a. aus den PN-Plan gewonnen werden: Aus den Abstand zwischen jenen kann man die Frequenzübertragungseigenschaften abschätzen. Sobald mindestens ein Doppelpol auftritt ist das System schwingfähig.


Stabil

Ein System ist stabil, wenn für verschwindende Anfangszustände und für ein beliebiges, aber beschränktes Eingangssignal, die Systemantwort ebenfalls beschränkt ist. Dabei muss die Leistung des Eingangssignals und jene des Ausgangs einen endlichen Wert haben.

Sprungantwort

Die Sprungantwort h(t) oder Übergangsfunktion G(t) ist das Ausgangssignal eines eindimensionalen, linearen, zeitinvarianten Systems, dem am Eingang die Sprungfunktion zugeführt wird.

Sprungantwort eines Tiefpasses

Die Sprungantwort lässt sich als Faltung mit der Impulsantwort berechnen und ist somit deren zeitliches Integral.


Übertragungsfunktion

Mit Hilfe der Übertragungsfunktion wird mathematisch ein LTI im Bildbereich beschrieben. Das System besitzt dabei jeweils genau einen Eingang x(t) und Ausgang y(t).

Die Übertragungsfunktion ist definiert als Quotienten von Ausgangs-Fourierspektrum zu Eingangs-Fourierspektrum:

Nach der obengenannten Definition ist die Übertragungsfunktion, neben einem konstanten Faktor, die Fouriertransformierte der Impulsantwortfunktion.

Demgegenüber kennt man in der Systemtheorie als noch allgemeinere Definition die Übertragungsfunktion als Laplace-Transformierte statt nur Fouriertransformierte der Impulsantwortfunktion.

Die Pol-Nullstellendarstellung wird die Übertragungsfunktion G(s) in der allgemeinen Form dargestellt:

Die zi werden als Nullstellen und die pi als Pole der Übertragungsfunktion bezeichnet. Durch eine Angabe des Verstärkungsfaktors K, zi und pi ist die Übertragungsfunktion vollständig bestimmt.

Die Impulsantwort g(t) erhält man durch die Rücktransformation von G(s), was am besten durch Partialbruchzerlegung geschieht.


Zeitbereich

Im Zeitbereich liegen Systemgrößen wie u.a. Signale zeitbezogen vor, also als Funktionen der Zeit oder analoge / digitale Aufzeichnungen über der Zeit. Systembeschreibungen im Zeitbereich liegen in Form von Differentialgleichungssystemen vor, die zumindest auch Differentiation nach der Zeit enthalten, oder als Algorithmen für die Zustandstransition über eine feste diskrete (Zeit-)Schrittweite.

Z-Transformation

Die Z-Transformation wandelt ein zeitdiskretes Signal im Zeitbereich in ein komplexes diskretes Signal im Frequenzbereich um. Die zeitdiskrete Z-Transformation ist das Analogon zur Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale. Daher wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ bezeichnet.

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Zitate

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(Albert Schweitzer)

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